Annales gratuites Bac ST2S : Culture bactérienne

Partie A : Etude d'une fonction.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 11] par f(t) = e^{0,2t + 6}.

1. Calculer f'(t).

2. Etudier le signe de f'(t), puis dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [0 ;11]. (On donnera les valeurs exactes de f(0) et f(11)).

3. Reproduire et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs à la dizaine la plus proche) :

t	0	2	4	6	8	10	11
f (t)	400			1340	2000

4. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal tel que :
1 cm représente une unité sur l'axe des abscisses ;
1 cm représente 200 unités sur l'axe des ordonnées.

Partie B : Application

On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en milieu liquide non renouvelé.
On admet que l'expression f (t) = e ^{0,2 t + 6} donne le nombre de bactéries présentes dans cette culture en fonction du temps t, exprimé en heures.

1. Calculer le nombre de bactéries présentes dans le liquide au bout de 5 h 30 min. (Le résultat sera arrondi à la dizaine d'unités la plus proche).

2. En utilisant le graphique de la partie A, déterminer au bout de combien de temps la population de bactéries aura doublé (faire apparaître les tracés utiles et donner une réponse en heures et minutes).

3. Résoudre algébriquement l'équation f (t) = 800 et retrouver le résultat de la question précédente.

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET

Etude d'une fonction exponentielle au service d'un problème de biologie

II - DEVELOPPEMENT

Partie A

1)
t
f(t) = e^0,2t+6

2)
On sait que e^x >0 pour tout x réel donc pour tout t.
Donc f est croissante strictement sur [0 ; 11].
f(0) = e⁶ et f(11) = e^8,2

3)

t	0	2	4	6	8	10	11
f(t)	400	600	900	1340	2000	2980	3640

4) Voir courbe.

Partie B

1)
On a t = 5,5

soit environ 1210 bactéries.

2)
Graphiquement la population de bactéries dépasse 800 individus à partir de t = 3h 20min.

3)
f(t) = 800
e^{0,2 t + 6} = 800
0,2 t + 6 = ln 800
0,2 t = ln 800 - 6
t = 5(ln 800-6)

t = 3,42     soit t = 3h 24min

A partir de t = 3h 24min, la population de bactéries dépassera les 800 individus.

III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Il fallait :
- bien connaître la fonction exponentielle.
- savoir interpréter un graphique.
- bien utiliser sa calculatrice.

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