Annales gratuites Bac ST2S : Epidémie

Partie  A : Etude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle I=[0 ;45] par :



1.

a) Montrer que

b) Reproduire et compléter le tableau de signes suivant :



c) Donner le tableau de variation de f sur l’intervalle I

2. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :



3. Le plan est muni d’un repère orthogonal ; pour le graphique, on prendra :

- 2 cm en abscisses pour 10 unités ;

- 1 cm en ordonnées pour 1000 unités.

Tracer la courbe représentative de la fonction f, en utilisant le tableau de valeurs de la question précédente.
Tracer sur le dessin les tangentes aux points d’abscisses t = 0 et t = 30.

Partie B : Application

A la suite d’une épidémie dans une région, on a constaté que le nombre de personnes malades t jours après l’apparition des premiers cas est donné par :

, pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ;45]

1. En utilisant la partie A, déterminer où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes malades ce jour-là.

2. Déterminer graphiquement la période pendant laquelle le nombre de personnes malades est supérieur ou égal à 10 000 (faire apparaître sur le dessin les traits de construction utiles).

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Etude d'une fonction polynôme de degré trois et recherche d'un maximum pour une application dans une situation concrète : celle de l'épidémiologie.


II - DEVELOPPEMENT

Partie A



1.

a)


b)



c) Le tableau de variation de f sur I est:

2.



3.



Partie B



1. Le 30^ème jour est le jour où le nombre de malades est maximal.

2. La période pendant laquelle le nombre de personnes malades est supérieur ou égal à 10000 est comprise entre 20 et 38. Ces résultats ont été obtenu par lecture graphique.


III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Il fallait savoir dériver une fonction polynôme et étudier le signe de sa dérivée.

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