Suivez-nous
 >   >   >   > Hyperglycémie

Annales gratuites Bac ST2S : Hyperglycémie

Le sujet  2002 - Bac ST2S - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
LE SUJET

PARTIE A : ETUDE D'UNE FONCTION

Soit f la fonction définie sur l'intervalle I = [ 0 ; 4 ] par f (x)  = 1,8 x.e-x + 0,9

  1. Calculer f ' (x) et montrer que f ' (x) = 1,8 (1 - x) e-x
  2. Déterminer le signe de f ' (x).
  3. Donner le tableau de variation de f sur l'intervalle I.
  4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les résultats à 0,01 près :
    5.

    x

    0

    0,5

    1

    1,5

    2

    3

    3,5

    4

    F (x)

    		  

    1,45

    		      

    1,17

    		  

    1,03
  5. On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal du plan
    (unités graphiques : 3 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ;
                             10 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées).
    Tracer soigneusement la courbe C sur la feuille de papier millimétré fournie.

PARTIE B : APPLICATION

L'hyperglycémie provoquée par voix orale (HGPO) est un examen médical qui étudie une augmentation provoquée de la glycémie. Celle-ci est dosée à jeun le matin, sans petit déjeuner, puis mesurée après ingestion de 75 grammes de glucose.

On admet que la courbe obtenue dans la partie A du problème représente les valeurs obtenues à partir de mesures réalisées chez un sujet en bonne santé.

Les valeurs de x représentent le temps écoulé, en heures, après l'ingestion des 75 grammes de glucose et les valeurs de f(x) représentent la glycémie en grammes par litre.

Les questions suivantes sont à résoudre graphiquement en faisant apparaître les constructions utiles.

  1. Déterminer, à 10-2 près, la glycémie de la personne examinée au bout de 2 heure 30 minutes.
  2. Déterminer, à 10-2 près, la valeur maximale de la glycémie. Au bout de combien de temps ce maximum est il atteint ?
  3. Durant combien de temps la glycémie est-elle supérieure à 1,4 gramme par litre ?
    (Exprimer le résultat en heure et minutes)
  4. Combien de temps doit s'écouler pour que la glycémie du sujet redescende en dessous de 1,10 gramme par litre ?
    (Exprimer le résultat en heures et minutes)
LE CORRIGÉ

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Calcul de la glycémie en grammes par litre après l'étude d'une fonction exponentielle.

II - LE DEVELOPPEMENT

PARTIE A : Etude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle I = [0,4] par
f(x) = 1,8 x e-x + 0,9

1) f '(x) = 1,8 e-x - 1,8 x e-x
f '(x) = (1 - x) ´ 1,8 e-x
d'où f '(x) = 1,8 (1 - x) e-x

2) Comme 1,8 e-x > 0 pour tout réel x
alors f '(x) est du signe de 1-x.


.

3) Il en résulte le tableau de variation suivant :

4)

x

0

0,5

1

1,5

2

3

3,5

4

f(x)

0,9

1,45

1,56

1,50

1,39

1,17

1,09

1,03

5) voir graphique ci-dessous

PARTIE B : Application - lecture graphique

1) Au bout de 2 heures 30 minutes la glycémie de la personne examinée est de 1,27 gramme par litre (g/L).

2) La valeur maximale de la glycémie est de 1,56 g/L. Ce maximum est atteint au bout d'une heure.

3) La glycémie est supérieure à 1,4 g/L au bout de 24 minutes et jusqu'à 1 heure 56 minutes soit 1 heure 32 minutes.

4) Pour que la glycémie du sujet redescende en dessous de 1,1 g/L, il doit s'écouler 3 heures 26 minutes.

III - UN COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Une calculatrice programmable et un graphique soigné étaient indispensables pour traiter ce problème dans le temps imparti.

 2022 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite