Annales gratuites Bac ES : Parc informatique

Le parc informatique d'un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :
     ●   30 sont considérés comme neufs ;
     ●   90 sont considérés comme récents ;
     ●   les autres sont considérés comme anciens.

Une étude statistique indique que :
     ●   5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ;
     ●   10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
     ●   20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.

On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.

On note les événements suivants :
     N : " L'ordinateur est neuf " ;
     R : " L'ordinateur est récent " ;
     A : " L'ordinateur est ancien " ;
     D : " L'ordinateur est défaillant " ;
      : l'événement contraire de D.

1.  Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2.  Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.

3.  Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.

4.  Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

5.  Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

(5 points)

I - L'ANALYSE DU SUJET

Utilisation d'un arbre pondéré pour calculer des probabilités.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Probabilités conditionnelles
● Evénements indépendants
● Loi Binomiale

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Il fallait bien appliquer la formule des probabilités totales.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

La traduction d'un énoncé comportant des probabilités conditionnelles ou des événements indépendants par un arbre pondéré est très utile.

V - LES RESULTATS

1.

P_N(D) = 0,05

P_R(D) = 0,1

P_A(D) = 0,2

2. P(N ∩ D) = P_N(D)×P(N)
P(N ∩ D)
P(N ∩ D)

3. On sait que D = (N ∩ D)∪(R ∩ D)∪(A ∩ C)
d'après le théorème des probabilités totales, on obtient :

P(D) = P(N ∩ D) + P(R ∩ D) + P(A ∩ D)
P(D) = 0,0075 + P_R(D)×P(R)+P_A(D)×P(A)
P(D) = 0,0075 + 0,1×+0,2×

P(D) = 0,0075 + 0,045×+0,08
P(D) = 0,1325

4.

P_D(A) = 0,60 à 10^-2 près

5.
Comme on est en présence de trois épreuves indépendantes présentant chacune deux issues, soit l'ordinateur est défaillant avec une probabilité de p = 0,1325, soit il ne l'est qu'avec une probabilité q = 0,8675, par conséquent, la variable aléatoire x associant le nombre d'ordinateurs défaillants suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,1325.
Donc pour qu'exactement un des ordinateurs soit défaillant, poser x = 1

P(x = 1) = 0,1325 × 0,8675² + 0,1325 × 0,8675² + 0,1325 × 0,8675²
P(x = 1) = 3 × 0,1325 × 0,8675²
D'où P(x = 1) = 0,3 à 10^-2 près.

P(x = 1) = 0,3 à 10^-2 près.