EXERCICE 4 : (5points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).

On désigne par le point d’affixe .

1. On considère la transformation du plan qui, à tout point d’affixe , associe le point d’affixe .

   1. Déterminer les images respectives par la transformation du point de du point d’affixe

   2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .

   3. Déterminer l’image par la transformation du cercle de centre et de rayon .

2. désigne le cercle de centre d’affixe et de rayon .

   1. Construire le point appartenant au cercle tel que : .

   2. A tout point du cercle d’affixe , on associe le point du cercle d’affixe tel que : .

Déterminer le module et un argument de . En déduire que .

3. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation qui à tout point du plan d’affixe associe le point d’affixe telle que .

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
   A tout point du plan, on associe le point milieu du segment .
   Quel est le lieu géométrique du point lorsque décrit le cercle  ?

Intérêt du sujet

L’exercice est très simple sur les deux premières parties mais devient plus difficile sur la recherche d’un lieu géométrique.

Savoir et savoir-faire

Pour les deux premières parties, il fallait connaître son cours sur les similitudes directes et indirectes. La dernière partie nécessite une bonne analyse et un peu d’intuition.

Résultats

1. a.

b. T est la réflexion d’axe.

c., cercle de centre O’ et de rayon 1.

2. a. Construction

b., donc .

3. décrit le cercle de centre qui passe par .

Développement

1. a) a pour affixe ,
   donc a pour affixe
   est donc invariant par .
   a pour affixe ,
   donc a pour affixe
   donc est aussi invariant par .

2. La transformation est une similitude car son écriture complexe est de la forme avec .
   De plus une similitude qui a deux points invariants distincts et est soit l’identité, soit la réflexion d’axe .
   Ici n’est pas l’identité car l’image de est le point ayant comme affixe .
   est par conséquent la réflexion d’axe .

3. L’image d’un cercle par réflexion est un cercle de même rayon ayant l’image du centre comme centre.
   C'est-à-dire que l’image de est le cercle de centre le point d’affixe et de rayon .

2. a) Construction sur le graphique.

b) donc

donc

par conséquent

donc

donc

donc
le complexe
d’où

2. l’application complexe associé à est du type
   avec complexe de module et d’argument .
   est donc une rotation d’angle .
   Pour connaître son centre il suffit de résoudre  :
   
   
   
   d’où
   En conclusion est la rotation de centre et d’angle .

3. étant le milieu de

donc

lorsque décrit le cercle on a
par conséquent
décrit le cercle de centre est de rayon .

Pour le tracer, on va tracer le milieu de .

est le cercle de centre passant par .

Difficultés

Deux parties très simples. La troisième partie nécessite une analyse de la situation, et de l’intuition.